自宅の売却を考えています。毎年固定資産税を払っていますが、１年のどこかで家を売却した場合、支払い済みの固定資産税は払い損になるのでしょうか？

ご質問者様のおっしゃる通り、固定資産税は１月１日時点の所有者に納税義務があります。なので、期の途中で売買が成立したとしても納税義務者はご質問者様で間違いはありません。ただ、実際に所有していない期間分まで納税するというのは公平を欠くことになりますので、一般的には日割り計算をして買主から売主に固定資産税の精算を行います。なお、精算にあたっての起算日は１月１日とする場合と、４月１日とする場合の２パターンがあります。関東では１月１日のケースがほとんどのはずですが、気になるようでしたら売買の際に確認してみると良いでしょう。