自宅を購入するのですが、不動産会社に事前に住民票を新居に移しておくように言われました。この場合、子供はすぐに新居の学区域の小学校に通わなければならないのでしょうか？

事前に住民票を移すのは不動産取引ではよく行われていますね。この場合お子様の通う小学校は原則的には新居の学区域の小学校になります。ただ、新居が近いならまだ可能でしょうが、通学困難になる場合も多くあります。なので学校などに相談し、学区外通学の許可を貰い、実際の引越しまでの間はいままでの小学校に通学するというのが一般的かと思います。